Turunan dari f(x)^g(x) ?

Berhubung tugas akhir saya berhubungan dengan dunia diferensial, di sini saya ingin menjelaskan bagaimana menentukan turunan dari bentuk f(x)^{g(x)}. Selama ini yang biasa dipelajari di sekolah hanya turunan dari bentuk f(x)^n dan n^{g(x)} (salah satu dari basis atau eksponen berupa bilangan real, bukan fungsi), yaitu:

\frac{df(x)^n}{dx}=n.f(x)^{n-1}.f'(x)

\frac{dn^{g(x)}}{dx}=n^g(x).g'(x).ln(n)

Nah sekarang bagaimana dengan turunan f(x)^{g(x)}? Rumus mana yang harus digunakan??

Biasanya tidak banyak siswa yang tahu. Namun, bagi yang sudah familiar dengan dunia aljabar tentu saja sudah mengerti bagaimana teknik untuk menurunkannya. OK, langsung saja mari kita cari bentuk turunannya..

Ingat bahwa a^b = e^{ln(a^b)} = e^{b.ln a}

Dengan sifat tersebut, kita peroleh f(x)^{g(x)} = e^{g(x).ln (f(x))}

Sekarang mari kita turunkan..

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} =\frac{d}{dx} e^{g(x).ln (f(x))}

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} = e^{g(x).ln (f(x))} . \frac{d}{dx} (g(x).ln (f(x)))

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)} .(g'(x).ln(f(x)) + \frac{d ln(f(x))}{dx} .g(x))

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)} .(g'(x).ln(f(x))+\frac{1}{f(x)}.f'(x).g(x))

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)} .g'(x).ln(f(x))+f(x)^{g(x)}.\frac{1}{f(x)}.f'(x).g(x)

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)} .g'(x).ln(f(x))+f(x)^{g(x)-1}.f'(x).g(x)

Akhirnya kita dapatkan bentuk umum turunannya. Untuk lebih memastikan, mari dicoba untuk f(x)=n atau g(x)=n.

\frac{d}{dx} f(x)^n =f(x)^n.0.ln(f(x))+f(x)^{n-1}.f'(x).n =n.{f(x)}^{n-1}.f'(x)

\frac{d}{dx} n^{g(x)} =n^{g(x)}.g'(x).ln(n)+n^{g(x)-1}.0.g(x)=n^{g(x)}.g'(x).ln(n)

Ternyata hasilnya memang sesuai. Jadi telah berhasil diperoleh bahwa:

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} =f(x)^{g(x)}.g'(x).ln(f(x))+f(x)^{g(x)-1}.f'(x).g(x)

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s