Category Archives: matematika

Apr 19 2012

[Jawaban] Soal Matematika yang Menjebak

Pada postingan sebelumnya, saya memberikan beberapa contoh soal yang menjebak. Berikut saya berikan jawabannya:

1. Carilah semua solusi bilangan real dari persamaan {(x-1)}^{x+2}={(x-1)}^{2x-4}

  • Jawaban jebakan: 6 (atau { 0, 1, 2, 6 } )
  • Jawaban yang benar: { 0, 2, 6 }

2. Carilah semua solusi bilangan real dari persamaan \frac{x^3-2x^2}{x-2}= \frac{4x+4}{x+1}

  • Jawaban jebakan: -2 dan 2
  • Jawaban yang benar: -2

3. Tentukan bilangan bulat n terkecil sehingga \sqrt[4]{2012^3.20^2.12.n}  adalah bilangan bulat

  • Jawaban jebakan: 503.5^2.3^3 (yaitu 339525)
  • Jawaban yang benar: 0

4. Tentukan bilangan asli terkecil yang selalu bersisa 2 jika dibagi 3, 4, 5, 6, atau 7.

  • Jawaban jebakan: 422
  • Jawaban yang benar: 2

5. Sederhanakan bentuk \sqrt{x^2+6x+9}-3

  • Jawaban jebakan: x
  • Jawaban yang benar: |x+3|-3

6. Berapakah banyak faktor dari 2^2.3^3.5^5 yang bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna?

  • Jawaban jebakan: 60
  • Jawaban yang benar: 132

7. Berapa banyak kemungkinan pasangan asli (a,b) sehingga KPK(a,b) = 63000 dan FPB(a,b) = 35?

  • Jawaban jebakan: 32
  • Jawaban yang benar: 8

Saya hanya memberikan jawaban, untuk cara mengerjakannya silakan dikerjakan sendiri, hehehe. Jika ada jawaban yang masih salah, mohon dikoreksi.

Terlihat bahwa banyak faktor yang dapat menyebabkan soal tersebut menjebak, misalnya tidak memperhitungkan jenis bilangan, tidak memperhatikan adanya solusi lain, kurang fokus, dsb. Oleh karena itu, saya tekankan lagi KERJAKAN DENGAN TELITI!! Selama masih ada waktu, kerjakan lagi soal-soalnya meskipun kamu yakin itu sudah benar.

Okeh sekian, semoga bermanfaat.. ^^

Apr 17 2012

Soal Matematika yang Menjebak

Dalam mengerjakan soal, salah satu hal penting yang harus diperhatikan adalah KETELITIAN. Soal semudah apapun jika kurang teliti dalam pengerjaannya tentu saja dapat memberikan jawaban yang salah. Dalam matematika, banyak konsep-konsep sederhana yang justru sering diabaikan sehingga kadang menimbulkan ketidaktelitian. Banyak soal matematika (baik dalam ujian, soal latihan, maupun kompetisi) yang sifatnya ‘menjebak’, yakni soal yang sebenarnya cara mengerjakannya mudah, tetapi justru banyak yang jawabannya salah karena kurang dianalisis dengan baik. Berikut beberapa soal yang saya rasa cukup menjebak jika yang mengerjakan kurang hati-hati:

  1. Carilah semua solusi bilangan real dari persamaan {(x-1)}^{x+2}={(x-1)}^{2x-4}
  2. Carilah semua solusi bilangan real dari persamaan \frac{x^3-2x^2}{x-2}= \frac{4x+4}{x+1}
  3. Tentukan bilangan bulat n terkecil sehingga \sqrt[4]{2012^3.20^2.12.n}  adalah bilangan bulat
  4. Tentukan bilangan asli terkecil yang selalu bersisa 2 jika dibagi 3, 4, 5, 6, atau 7.
  5. Sederhanakan bentuk \sqrt{x^2+6x+9}-3
  6. Berapakah banyak faktor dari 2^2.3^3.5^5 yang bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna?
  7. Berapa banyak kemungkinan pasangan asli (a,b) sehingga KPK(a,b) = 63000 dan FPB(a,b) = 35?

Harusnya sih soal-soal ini gak begitu susah ya, gak harus ikut olimpiade matematika buat bisa ngerjain soal-soal ini. Seperti yang saya tekankan di awal, yang penting teliti dalam mengerjakan!!

OK, sekian saja.. Silakan liat kunci jawabannya di sini.
Semoga bermanfaat, terutama bagi yang sedang persiapan olimpiade. ^_^

Apr 4 2012

Turunan dari f(x)^g(x) ?

Berhubung tugas akhir saya berhubungan dengan dunia diferensial, di sini saya ingin menjelaskan bagaimana menentukan turunan dari bentuk f(x)^{g(x)}. Selama ini yang biasa dipelajari di sekolah hanya turunan dari bentuk f(x)^n dan n^{g(x)} (salah satu dari basis atau eksponen berupa bilangan real, bukan fungsi), yaitu:

\frac{df(x)^n}{dx}=n.f(x)^{n-1}.f'(x)

\frac{dn^{g(x)}}{dx}=n^g(x).g'(x).ln(n)

Nah sekarang bagaimana dengan turunan f(x)^{g(x)}? Rumus mana yang harus digunakan??

Biasanya tidak banyak siswa yang tahu. Namun, bagi yang sudah familiar dengan dunia aljabar tentu saja sudah mengerti bagaimana teknik untuk menurunkannya. OK, langsung saja mari kita cari bentuk turunannya..

Ingat bahwa a^b = e^{ln(a^b)} = e^{b.ln a}

Dengan sifat tersebut, kita peroleh f(x)^{g(x)} = e^{g(x).ln (f(x))}

Sekarang mari kita turunkan..

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} =\frac{d}{dx} e^{g(x).ln (f(x))}

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} = e^{g(x).ln (f(x))} . \frac{d}{dx} (g(x).ln (f(x)))

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)} .(g'(x).ln(f(x)) + \frac{d ln(f(x))}{dx} .g(x))

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)} .(g'(x).ln(f(x))+\frac{1}{f(x)}.f'(x).g(x))

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)} .g'(x).ln(f(x))+f(x)^{g(x)}.\frac{1}{f(x)}.f'(x).g(x)

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)} .g'(x).ln(f(x))+f(x)^{g(x)-1}.f'(x).g(x)

Akhirnya kita dapatkan bentuk umum turunannya. Untuk lebih memastikan, mari dicoba untuk f(x)=n atau g(x)=n.

\frac{d}{dx} f(x)^n =f(x)^n.0.ln(f(x))+f(x)^{n-1}.f'(x).n =n.{f(x)}^{n-1}.f'(x)

\frac{d}{dx} n^{g(x)} =n^{g(x)}.g'(x).ln(n)+n^{g(x)-1}.0.g(x)=n^{g(x)}.g'(x).ln(n)

Ternyata hasilnya memang sesuai. Jadi telah berhasil diperoleh bahwa:

\frac{d}{dx} f(x)^{g(x)} =f(x)^{g(x)}.g'(x).ln(f(x))+f(x)^{g(x)-1}.f'(x).g(x)

Jul 2 2011

[Math] Pi + Pi = Tau

Beberapa hari ini saya cukup tertarik dengan munculnya konstanta tau (τ) yang katanya lebih efektif dalam perhitungan matematis dibanding pi (π).

pi vs tau

Sejak SD, kita pasti sudah dikenalkan dengan sebuah konstanta unik bernama pi (π). Sampai sekarang pun konstanta ini sudah terkenal dalam berbagai rumus dan persamaan. Ya, π adalah konstanta yang didefinisikan sebagai perbandingan antara keliling dengan diameter lingkaran. Sehingga, setiap ada hitungan dan formulasi yang berhubungan dengan lingkaran, nih konstanta pasti dibutuhkan. Dan tidak dapat dipungkiri, lingkaran adalah salah satu bangun datar yang paling dasar dan dapat ditemui di mana saja. Kan keren, gak punya titik sudut tuh..

Namun, seorang profesor matematika di University of Utah bernama Bob Palais menulis artikel “π is wrong!“. Menurut beliau, konstanta lingkaran yang digunakan seharusnya bukan perbandingan keliling dengan diameter lingkaran. Namun, seharusnya perbandingan keliling dengan jari-jari lingkaran. Sehingga nilainya menjadi dua kali pi, yang kemudian disebut dengan konstanta tau (τ). Mengapa harus begitu? Michael Hartl telah menjelaskannya dalam The Tau Manifesto. Dan beberapa tulisan saya di bawah ini juga berdasar pada manifesto tersebut.

Yang perlu ditekankan, ‘kesalahan’ yang ada pada pi bukan terletak pada keakuratan nilainya, tetapi dari sisi intuisi dan konsepnya. Terutama jika dikaitkan dengan satuan radian. Seperti kita ketahui, 1 π radian = 180 derajat = setengah putaran lingkaran. Jadi menurut para pendukung konstanta tau, agak aneh jika 1/2 putaran kok 1π, 1/4 putaran kok 1/2 π. Harusnya kan setengah ya setengah, seperempat ya seperempat, dst. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi berikut:

perbandingan antara pi dan tau dalam konteks radian

Pertimbangan lain dari penggunaan tau dibanding pi yaitu kemiripan dengan rumus-rumus lain yang berupa simple quadratic form. Misalnya saja:

Continue reading →

Jun 11 2011

Calculus Rhapsody (explained)

Beberapa hari yang lalu, saya nemu video di Youtube yang berjudul “Calculus Rhapsody”. Isinya adalah lagu Bohemian Rhapsody (by Queen) yang liriknya diplesetin jadi tentang kalkulus gitu deh. Emang sangat agak maksa sebenarnya liriknya, tapi cukup kreatif sih. Isinya juga cukup berguna buat belajar kalkulus beneran, hehehe.. Tapi orang2nya kok kayak pada hiperaktif gitu ya, hahaha.. Ok, langsung aja check this out:

berikut liriknya beserta penjelasan (bagi yang gak paham kalkulus maaf2 saja yaa :-P ) :

Is this x defined?
Is f continuous?
How do you find out?
You can use the limit process.
Approach from both sides,
The left and the right and meet.

Im a just a limit, defined analytically
Functions continuous,
Theres no holes,
No sharp points,
Or asymptotes.

Any way this graph goes
It is differentiable for me for me..

All year, in Calculus
Weve learned so many things
About which we are going to sing

We can find derivatives
And integrals
And the area enclosed between two curves.

y' oooh
Is the derivative of y
Y equals x to the n, dy/dx
equals n times x to the n-1.

Other applications
Of derivatives apply
If y is divided or multiplied
You use the quotient
And product rules
And dont you forget to do the dance

Also oooh (dont forget the chain rule)
Before you are done,
You gotta remember to multiply by the chain

Continue reading →